El número fi o número auri

El nombre aureu o d'or (també anomenat nombre platejat,proporció àurea i divina proporció) representat per la lletra grega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en majúscula), en honor a l'escultor grec Fidias, és un nombre irracional.
La fórmula, que és decisiva per a que isca l'anomenat nombre és aquesta:

Eixa proporció és la que es seguix a la divisió en parts propocionals d'aquest segment. A+b ha de seguir la mateixa relació amb a, que a i b.

Es tracta d'un nombre algebràic irracional (decimal infinit no periòdic) que posseeix moltes propietats interessants i que va ser descobert en l'antiguitat, no com a “unitat” sinó com a relació o proporció entre segments de rectes. Aquesta proporció es troba tant en algunes figures geomètriques com en la naturalesa. Pot trobar-se en elements arquitectónics, en les nervadures de les fulles d'alguns arbres, en el grossor de les branques, en la closca d'un caragol, en els flósculs (cada granet de polen de les plantes) dels girasols, etc.


Breument contaré els origens de eixe nº i alguns usos:
Existeixen diversos textos que suggereixen que el nombre aureu es troba com a proporció en certs deixants Babilònies i Assíries d'al voltant de 2000 a. C. No obstant això, no existeix documentació històrica que indiqui que el nombre aureu va ser usat conscientment pels arquitectes o artistes en la construcció dels deixants.
Aquest terme també té relació amb la succesió de Fibonacci, on fent la divisió a un nom per l'anterior, veurem que es va apropant a aquest nº perquè els termes de la succesió de Fibonacci, apareixen en aspectes de la natura i al construcció gràcies a que està involucrat amb el nº auri. Però el primer estudi formal fou fet per Euclides.


El nombre auri en la geometria:


El triangle de Kepler:

El nombre auri i la secció àurea estan presents en tots els objectes geomètrics regulars o semiregulares en els quals hi hagi simetria pentagonal, que siguin pentàgons o que aparegui d'alguna manera l'arrel quadrada de cinc.
Relacions entre les parts del pentàgon.
Relacions entre les parts del pentàgon estavellat, pentácul o pentagrama.
Relacions entre les parts del decàgon.
Relacions entre les parts del dodecaedre i de l'icosàedre.
El rectangle aureu d'Euclides -> explicaré aquesta només

Euclides obté el rectangle aureu AEFD a partir del quadrat ABCD. El rectangle BEFC és així mateix aureu.
El rectangle AEFD és aureu perquè els seus costats AE i AD estan en la proporció del nombre aureu. Euclides, en la seva proposició 2.11 dels elements, obté la seva construcció.
Amb centre en G s'obté el punt I, i per tant:

Amb centre G s'obté el punt E, per tant:

Després:

Finalment:

D'altra banda, els rectangles AEFD i BEFC són semblants, de manera que aquest últim és asimateix rectangle auri.

Euclides obté el rectangle auri d'aquesta forma, explicada en clase.

En la natura alguns del exemples on es veu reflexa aquest nombre amb la succesió de Fibonacci són:


-La relació entre la quantitat d'abelles mascle i abelles femella en un panal.
-La disposició dels pètals de les flors (el paper del nombre aureu en la botànica rep el nom de Llei de Ludwig).
-La distribució de les fulles en una tija. Veure: Successió de Fibonacci.
-La relació entre les nervadures de les fulles dels arbres
-La relació entre el grossor de les branques principals i el tronc, o entre les branques principals i les secundàries (el grossor d'una equival a Φ prenent com a unitat la branca superior).
-La distància entre les espirals d'una pinya.
- La relació entre la distància entre les espires de l'interior espiralat de qualsevol caragol o de cefalòpodes com el nautilus.

Clotxina nautilus amb espiral logarítimica.

A l'art i a la cultura també es pot apreciar com s'utilitzava la divina proporció com a patró:


-Relacions en la forma de la Gran Piràmide de Gizeh. L'afirmació de Heródot que el quadrat de l'altura és igual a la superfície d'una cara és possible únicament si la semi-secció meridiana de la piràmide és proporcional al triangle rectangle.
-En el quadre Leda atòmica, de Salvador Dalí, fet en col·laboració amb el matemàtic romanès Matila Ghyka.
-En els violins, la ubicació de les efes o ases (les “oïdes” o orificis en la tapa) es relaciona amb el nombre aureu.
-El nombre aureu apareix en les relacions entre altura i ample dels objectes i persones que apareixen en les obres de Miguel Ángel, Dürer i Leonardo da Vinci, entre uns altres.
-Les relacions entre articulacions en l'home de Vitruvi i en altres obres de Leonardo da Vinci

Home de Vitruvi de Da Vinci

Fins i tot al misticisme està present:


-En la creu llatina, símbol del catolicisme, la relació entre el pal vertical i l'horitzontal és el nombre aureu. Així mateix, el pal horitzontal divideix al vertical en seccions aurees.


Com podem observar, el nº fi està present a molts aspectes de la vida que tenen a vore amb desenvolupament logarítmics; casualitats? no crec.

La succesió de Fibonacci

Aquesta curiosa succesió, té una llei que és que un nombre és la suma del dos anteriors de eixa mateixa série. Per exemple, si comencem en 0, la seqüencia continuaria així: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34...
Explicaré perquè, per exemple, 8 està en la seqüència ja que els 2 nombre anterios sumen 8 (3+5) o el 21 també perquè els 2 nombre anteriors sumen 21 (13+8). Així es continuaria infinitament. Amb aquesta série s'obté un nombre que està present a molts aspectes tant naturals, com obres d'art o partitures. Eixe nombre s'obté dividint cada terme per l'anterior i a mesura que avancem, ens adonarem de que els resultats s'apropen més i més a un nombre de decimal infinits, el Phi. Aquest descobriment s'el devem a Leonardo de Pisa o Fibonacci. Aquest home va fer un exemple del seu descobriment. Dividia un segment en 2 troços que devien de seguir una proporció concreta que era, la relació entre la recta i el tros major, havia de ser la mateixa que entre els 2 trossos. Per tant  AB/AC = AC/CB = Phi. Per tant, a astó li van anomenar divina proporció. És divina, per dir-lo de alguna forma, per trobar-se en aspectes de la vida com la natura, pintures o construccions. L'home l'ha usat per a la construcció, usant a la vegada figures com el rectangle aureu. Per a vore com es desenvolupa la succesió de Fibonacci, comencen a dividir figures aurees en altres de a mateixa forma però més petites, dona lloca a una espiral logaritmica, així es pot explicar, com en alguns fenomens naturals com la espiral de la conxes, es pren eixa forma, seguix el patró, la divina proporció. Aquesta succesió es troba a la nostra vida com a aquest problema de cria de conills, on cada més, una parella de eixos animals de una cria, doncs al segon mes tindran una cria, al 3r tindran 1+1 = 2, al següent, 2+1=3 i al següent, per la mateixa regla, 5 i així succesivament. Altre cas a la natura és com creixen les fulles a una tija, és a dir, per exemple donen una volta eixent 3 fulls i 3/1 o amb 2 voltes, 5 fulls o amb 3 voltes, 8 fulls, que si ens donem conte 8 = 5+3, les fulles utilitzades a les voltes anteriors. Aquests han sigut alguns dels exemples on la succesió es pot observar a la natura. Si voleu vore més, fique-vos a aquest video:
http://www.youtube.com/watch?v=j9e0auhmxnc&feature=player_embedded

La Criptografia

La paraula criptografia ve del grec krypto (ocult) i de graphos (escriure). És la tècnica aplicada a l'art o la ciència, que altera les representacions lingüístiques d'un missatge, tracta de enmascarar-les amb tal de que les personas non grates llegisquen la informació que jo li envie a altra(es) persones. El destinatari que ha de rebre el missatge es diu destinatari coherent, i eixe mateix disposa dels mitjans per a sotmetre al procés invers a la codificació, descifrar-ho.

Els éssers humans sempre han sentit la necessitat d'ocultar informació, molt abans que existissin els primers equips informàtics i calculadores.
Des de la seva creació, Internet ha evolucionat fins a convertir-se en una eina essencial de la comunicació. No obstant això, aquesta comunicació implica un nombre creixent de problemes estratègics relacionats amb les activitats de les empreses en la Web. Les transaccions que es realitzen a través de la xarxa poden ser interceptades i, sobretot, perquè actualment resulta difícil establir una legislació sobre Internet. La seguretat d'aquesta informació ha de garantir-se: aquest és el paper de la criptografia.

La criptografia es basa en l'aritmètica: En el cas d'un text, consisteix a transformar les lletres que conformen el missatge en una sèrie de nombres (en forma de bits ja que els equips informàtics usen el sistema binari) i després realitzar càlculs amb aquests nombres para:

•Modificar-los i fer-los incomprensibles. El resultat d'aquesta modificació (el missatge xifrat) es diu text xifrat, en contrast amb el missatge inicial, anomenat text simple.•Assegurar-se que el receptor pugui desxifrar-los. El fet de codificar un missatge perquè sigui secret es diu xifrat. El mètode invers, que consisteix a recuperar el missatge original, es diu desxifrat.


Les dues tècniques més senzilles de xifrat, en la criptografia clàssica, són la substitució (que suposa el canvi de significat dels elements bàsics del missatge -les lletres, els dígits o els símbols-) i la transposició (que suposa una reordenació dels mateixos); la gran majoria de les xifres clàssiques són combinacions d'aquestes dues operacions bàsiques.


Els origens de aquesta forma d'encriptació es remonten al segle V a.C amb l'Escítala, un metode de ocultar la informació: Una escítala és un sistema de codificació utilitzat pels éforos espartanos per a l'enviament de missatges secrets. Està formada per dues vares de grossor variable i una tira de cuir o papir. També, el César tenia un propi sistema d'encriptació. Posteriorment en 1465, l'Italià Leon Battista Alberti va inventar un nou sistema de substitució polialfabética que va suposar un gran avanç de l'època. Un altre dels criptógrafs més importants del segle XVI va ser el francès Blaise de Vigenère que va escriure un important tractat sobre "l'escriptura secreta" i que va dissenyar una xifra que ha arribat als nostres dies associada al seu nom. Durant els segles XVII, XVIII i XIX, l'interès dels monarques per la criptografia va ser notable. Les tropes de Felipe II van emprar durant molt temps una xifra amb un alfabet de més de 500 símbols que els matemàtics del rei consideraven inexpugnable.
També es va utilitzar com a forma de missatgeria oculta a la WW2 pels nazis amb la màquina enigma.
Resumidament, he contat què és la criptografia i ara faré un problema sobre el codi César:


El codi César tracta de dir lletres, encara que segons la clau (llocs que es desplacen les lletres a l'alfabet) cada lletra pren un valor distint. Per exemple, a la clau 3, la lletra A seria la C. Si volem dir hola, seria: K R O D.
Activitats:
Que vol dir si rebem el missatge "sureohpd"? Al descifrar-lo eixiria: 
Problema.
Ara, volem xifrar el missatge: quedem pel matí.
Seria així: Txhghp sho pcwl.
Si el missatge SJ QX NWCNWB està codificat en clau 9. Què diu?
JA HO ENTENS és el que diu.
Quantes claus diferents es poden utilitzar?
Jo crec que es poden utilitzar infinites ja que si acabes l'alfabet, comences de nou, saltant de la Z a la A.
Si reps un missatge en clau 47 què vol dir? Desxifra el missatge IPHZMJ.
NUMBRO
La clau 3542 és la clau on es moven 3542 vegades cada lletra.

Els sistemes de numeració al món

Primer de tot, diré que és un sistema de numeració:
Un sistema de numeració és un conjunt de símbols i regles de generació que permeten construir tots els nombres vàlids. Poden ser posicionals o no. Avall diré que vol dir açó
Els sistemes de numeració diferents que he trobat són el següents i faré un resum petit dels més coneguts que són la romana, la arabiga i la maya, segons la meua opinió
Arabiga
Armènia
Ática
Babilònica
Xinesa
Ciríl·lica
Muisca
Egípcia
Etrusca
Grega
Hebrea
Índia
Japonesa
Maya
Romana




Arabiga: Els nombres aràbics són els símbols més utilitzats per a representar nombres. Se'ls crida "aràbics" perquè els àrabs els van introduir a Europa encara que, en realitat, la seua invenció va sorgir en l'Índia. El món li deu a la cultura índia l'invent transcendental del sistema de numeració de base 10, cridat de posició, així com el descobriment del 0 (anomenat "sunya" o "bindu" en llengua sànscrita), encara que els maies també van conèixer l'1. Els matemàtics perses de l'Índia van adoptar el sistema, d'els qui ho van prendre els àrabs. Per al moment en què es van començar a usar en el nord d'Àfrica, ja tenien la seua forma actual, d'allí van ser adoptats a Europa en l'Edat Mitjana. El seu ús va augmentar a tot el món a causa de la colonització i comerç europeus.
Nosaltres utilitzem eixe sistema amb el seus digits: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0




Romana: El sistema de numeració romana es va desenvolupar en l'antiga Roma i es va utilitzar en tot el seu imperi. És un sistema de numeració no posicional, en el qual s'usen algunes lletres majúscules com a símbols per a representar els nombres. La següent taula mostra els símbols vàlids en el sistema de numeració romà, i les seues equivalències en el sistema decimal:
Romano Decimal Nota
I 1 Unus
V 5 Quinque. V és la meitat superior de X; en etrusc Λ.
X 10 Decem
L 50 Quinquaginta
C 100 Lletra inicial de Centum.
D 500 Quingenti. D, és la meitat de la Digamma Φ (com phi).
M 1000 Mille Originalment era la lletra Digamma.

Alguns dels citats són sistemes posicionales, és dir que un digit pren un valor o altre depenent de la seva posició:

Ex.  15: açí el 1 vale 10 ja que està al sistema decimal a la posició de les desenes. Però en canvi, açí: 51 val 1 a la posició de les unitats.

Alguns dels posicionals són l'indi o el maya i altre no posicional és el romà.

El sistema que utilitzem nosaltres de base 10 té origen a India i Aràbia ja que van crear els dígits que usem actualment nosaltres.

Els maies utilitzaven un sistema de numeració vigesimal (de base 20) d'arrel mixta, similar al d'altres civilitzacions mesoamericanas.
Els maies preclàssics van desenvolupar independentment el concepte de zero al voltant de l'any 36 a. C.1 Est és el primer ús documentat del zero a Amèrica, encara que amb algunes peculiaritats que li van privar de possibilitat operatoria.2 Les inscripcions, els mostren en ocasions treballant amb sumes de fins a centenars de milions i dates tan extenses que prenia diverses línies el poder representar-les.

Doncs bé açí he posat informació dels sistemes de numeració més relevants al meu paréixer i altres coses més que espere servisquen d'ajuda.