El número fi o número auri

El nombre aureu o d'or (també anomenat nombre platejat,proporció àurea i divina proporció) representat per la lletra grega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en majúscula), en honor a l'escultor grec Fidias, és un nombre irracional.
La fórmula, que és decisiva per a que isca l'anomenat nombre és aquesta:

Eixa proporció és la que es seguix a la divisió en parts propocionals d'aquest segment. A+b ha de seguir la mateixa relació amb a, que a i b.

Es tracta d'un nombre algebràic irracional (decimal infinit no periòdic) que posseeix moltes propietats interessants i que va ser descobert en l'antiguitat, no com a “unitat” sinó com a relació o proporció entre segments de rectes. Aquesta proporció es troba tant en algunes figures geomètriques com en la naturalesa. Pot trobar-se en elements arquitectónics, en les nervadures de les fulles d'alguns arbres, en el grossor de les branques, en la closca d'un caragol, en els flósculs (cada granet de polen de les plantes) dels girasols, etc.


Breument contaré els origens de eixe nº i alguns usos:
Existeixen diversos textos que suggereixen que el nombre aureu es troba com a proporció en certs deixants Babilònies i Assíries d'al voltant de 2000 a. C. No obstant això, no existeix documentació històrica que indiqui que el nombre aureu va ser usat conscientment pels arquitectes o artistes en la construcció dels deixants.
Aquest terme també té relació amb la succesió de Fibonacci, on fent la divisió a un nom per l'anterior, veurem que es va apropant a aquest nº perquè els termes de la succesió de Fibonacci, apareixen en aspectes de la natura i al construcció gràcies a que està involucrat amb el nº auri. Però el primer estudi formal fou fet per Euclides.


El nombre auri en la geometria:


El triangle de Kepler:

El nombre auri i la secció àurea estan presents en tots els objectes geomètrics regulars o semiregulares en els quals hi hagi simetria pentagonal, que siguin pentàgons o que aparegui d'alguna manera l'arrel quadrada de cinc.
Relacions entre les parts del pentàgon.
Relacions entre les parts del pentàgon estavellat, pentácul o pentagrama.
Relacions entre les parts del decàgon.
Relacions entre les parts del dodecaedre i de l'icosàedre.
El rectangle aureu d'Euclides -> explicaré aquesta només

Euclides obté el rectangle aureu AEFD a partir del quadrat ABCD. El rectangle BEFC és així mateix aureu.
El rectangle AEFD és aureu perquè els seus costats AE i AD estan en la proporció del nombre aureu. Euclides, en la seva proposició 2.11 dels elements, obté la seva construcció.
Amb centre en G s'obté el punt I, i per tant:

Amb centre G s'obté el punt E, per tant:

Després:

Finalment:

D'altra banda, els rectangles AEFD i BEFC són semblants, de manera que aquest últim és asimateix rectangle auri.

Euclides obté el rectangle auri d'aquesta forma, explicada en clase.

En la natura alguns del exemples on es veu reflexa aquest nombre amb la succesió de Fibonacci són:


-La relació entre la quantitat d'abelles mascle i abelles femella en un panal.
-La disposició dels pètals de les flors (el paper del nombre aureu en la botànica rep el nom de Llei de Ludwig).
-La distribució de les fulles en una tija. Veure: Successió de Fibonacci.
-La relació entre les nervadures de les fulles dels arbres
-La relació entre el grossor de les branques principals i el tronc, o entre les branques principals i les secundàries (el grossor d'una equival a Φ prenent com a unitat la branca superior).
-La distància entre les espirals d'una pinya.
- La relació entre la distància entre les espires de l'interior espiralat de qualsevol caragol o de cefalòpodes com el nautilus.

Clotxina nautilus amb espiral logarítimica.

A l'art i a la cultura també es pot apreciar com s'utilitzava la divina proporció com a patró:


-Relacions en la forma de la Gran Piràmide de Gizeh. L'afirmació de Heródot que el quadrat de l'altura és igual a la superfície d'una cara és possible únicament si la semi-secció meridiana de la piràmide és proporcional al triangle rectangle.
-En el quadre Leda atòmica, de Salvador Dalí, fet en col·laboració amb el matemàtic romanès Matila Ghyka.
-En els violins, la ubicació de les efes o ases (les “oïdes” o orificis en la tapa) es relaciona amb el nombre aureu.
-El nombre aureu apareix en les relacions entre altura i ample dels objectes i persones que apareixen en les obres de Miguel Ángel, Dürer i Leonardo da Vinci, entre uns altres.
-Les relacions entre articulacions en l'home de Vitruvi i en altres obres de Leonardo da Vinci

Home de Vitruvi de Da Vinci

Fins i tot al misticisme està present:


-En la creu llatina, símbol del catolicisme, la relació entre el pal vertical i l'horitzontal és el nombre aureu. Així mateix, el pal horitzontal divideix al vertical en seccions aurees.


Com podem observar, el nº fi està present a molts aspectes de la vida que tenen a vore amb desenvolupament logarítmics; casualitats? no crec.